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Introdução à Topologia Geral

Menção Final

Revisão de Nota: 17/02/2017 -- 13:30

Notas da Prova 2

Atenção: Os abertos na topologia produto NÃO SÃO da forma AxB, onde A e B são abertos!

Sobre o Curso

Os primeiros espaços em que tratamos de assuntos de convergência e continuidade são $\mathbb{R}$ e $\mathbb{R}^n$, com a noção usual de distância. A generalização desses conceitos para espaços métricos é bastante direta e natural. A topologia geral vai além dessa generalização, e trata de uma estrutura com a qual podemos falar em "proximidade" sem precisarmos de uma distância. Em um certo sentido, não estamos preocupados com as coisas que estão longe, apenas com as que estão próximas.

Nesse curso, os espaços métricos serão importantes para motivar os conceitos que serão fundamentais no desenvolvimento da teoria de espaços topológicos. Não pretendemos tratar a fundo de questões mais "cabeludas" dos espaços métricos. Ao contrário, esperamos que a simplicidade com que abordaremos espaços métricos sirva de modelo para um desenvolvimento simples e rico dos espaços topológicos. Não queremos argumentos complicados, mas queremos sim, argumentos inteligentes.

Não queremos simplesmente ensinar o estudante a substituir argumentos com sequências por argumentos com abertos. Esepramos que o estudante aprenda a abordar os problemas por diferentes tipos de argumento. Queremos que o estudante tenha mobilidade com diferentes conceitos que podem ser usados para tratar de um mesmo problema de diferentes pontos de vista. Esperamos que o estudante saiba falar sobre fenômenos topológicos usando conceitos simples como: abertos, fechados, vizinhança, fecho, interior, bases, sub-bases e bases de vizinhança.

As notas de aula já podem ser baixadas em PDF ou lidas online.

Conteúdo

Dos espaços métricos aos espaços topológicos (aula 0)

  1. Métrica e propriedades.
  2. Continuidade com sequências.
  3. Continuidade com bolas.
  4. Vizinhanças e continuidade em um ponto.
  5. Abertos e continuidade em todo ponto.

Espaços topológicos e bases (aula 1)

  1. Definição.
  2. Bases e sub-bases.

Construindo topologias (aula 2)

  1. Topologia da ordem.
  2. Subespaços topológicos.
  3. Topologia produto.

Fecho e interior (aula 3)

  1. Fecho.
  2. Pontos limites.

Continuidade (aula 4)

  1. Com vizinhanças.
  2. Com abertos.
  3. Com fechados e com fecho.

Topologia produto (aulas 5 e 6)

  1. Topologia produto.

Topologia dos espaços métricos (aulas 7 e 8)

  1. Topologia dos espaços métricos.

Topologia quociente (aula 9)

  1. Topologia quociente.

Conexidade (aulas 10 e 11)

  1. Definição e exemplos.
  2. Conexos de $\mathbb{R}$.
  3. Teorema do valor intermediário.
  4. Componente conexa.
  5. Conexidade local.

Compacidade (aulas 12 a 15)

  1. Espaços compactos e conjuntos compactos.
  2. Compacidade em $\mathbb{R}$ e $\mathbb{R}^n$.
  3. Compacidade local.
  4. Teorema de Tychonoff.

Referências

O curso corresponde aos capítulos 2 e 3 do Munkres. Mas a maior parte do conteúdo está contido nas notas de aula que podem ser baixadas em PDF ou lidas online.

  1. James Munkres. Topology. 2ª edição. Prentice Hall. 2000.
  2. André Caldas. Topologia Geral por Vários Ângulos. Notas de aula online. Notas de aula em PDF.
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